Ok tu as vu son mail. Cela correspond à
peu près à ce que je propose. Nous sommes arrivés à des conclusions erronées
Mardi.
1) En fait si tu fais l’addition de
2 éléments de X, tu obtiens un nombre dans R qui est de la forme n alpha + 2 k
pi donc de la classe d’équivalence n alpha [2pi] donc qui appartient à X
donc + est stable dans X. 0 est dans X avec n=0, l’opposé est dans X avec
n’=-n. Donc X est un ss groupe de R.
2) A partir de là, c’est très simple
de montrer que si X est de la forme aZ avec a
appartenant à X, on a obligatoirement alpha/2pi qui est un rationnel (deuxième
partie des demonstrations III 1 et III 2 des feuilles
que je t’ai passé Mardi). Comme X ss groupe de
R, X est dense dans [0,2pi[
Elle voudrait qu’on fasse cette
démonstration à partir d’un ensemble de n alpha + 2 k pi puis projeter à
la fin sur [0,2pi[ pr une
application continue. J’ai deux problèmes ici
1) dire que n alpha + 2 k pi est dense dans R pour
alpha donné est contre intuitif. En fait, cet ensemble est de la forme aZ. Il faut passer aux classes d’équivalences dans [0,2pi[ pour avoir X = aZ => alpha/2pi
rationnel
2) je n’ai aucun théorème sur les applis
continues et les parties denses ou les adhérences.
Je lui fais un mail
Fred
-----Message d'origine-----
De :
l3-mme-grp5-bounces@listes.33cl.fr [mailto:l3-mme-grp5-bounces@listes.33cl.fr] De la part de Mathieu ROUSSEL
Envoyé : mercredi 15 octobre
2014 16:02
À :
l3-mme-grp5@listes.33cl.fr
Objet : Re: [l3-mme-grp5] TR
: exo 6 td2 analyse eureka!
Non elle a réfléchi un peu mais
elle m'a dit qu'il fallait qu'elle regarde d'abord ce qu'elle avait fait là
dessus pour me proposer quelque chose de plus concret !
Mais je croyais que cette idée
n'aboutissait pas car on avait dit avec la prof que justement ce n'était pas un
sous de groupe de R+
Mathieu.
From: frederic.lavarenne@club-internet.fr
To: l3-mme-grp5@listes.33cl.fr
Date: Wed, 15 Oct 2014 04:52:04 +0200
Subject: [l3-mme-grp5] TR : exo 6 td2 analyse eureka!
Mathieu,
Je ne
sais pas si tu as eu d’autres idées avec V. Lizan
pour la résolution de ce pb. Je crois qu’il faut partir du fait
que :
1) X est un ss groupe de R, + (0 et -x existent dans X, stable par
l’addition car x+y est de la forme n alpha + 2 k pi donc appartient à X)
2) Donc X est
soit aZ soit dense dans R réduit à [0,2pi[
3) Si X est aZ alors alpha / 2 pi appartient à Q donc impossible
(c’est sur les notes que je t’ai passé au III
Reste à
formuler cela de manière rigoureuse, ce qui n’est pas le plus facile.
A+
Fred
-----Message d'origine-----
De : frederic lavarenne
[mailto:frederic.lavarenne@club-internet.fr]
Envoyé : lundi 13 octobre
2014 00:06
À :
'l3-mme-grp5@listes.33cl.fr'
Objet : RE : exo 6 td2
analyse eureka!
Correction
-----Message d'origine-----
De : frederic lavarenne
[mailto:frederic.lavarenne@club-internet.fr]
Envoyé : dimanche 12 octobre
2014 23:54
À : 'l3-mme-grp5@listes.33cl.fr'
Objet : exo 6 td2 analyse
eureka!
J’ai trouvé un moyen de
démontrer l’exo 6 du TD2 d’analyse. Seulement, c’est
tellement long que je doute que cela soit la meilleure démonstration.
Je suis parti de la démonstration
que les sous groupes de R+ sont soit aZ soit denses dans R (cours du 25/9).
J’ai appliqué à X et [0,2pi[.
I)
montrer que
X est stable par + et x par un scalaire
II)
montrer que
inf (X) existe (non vide et minoré)
III)
montrer que
inf(X) > 0 impossible : c’est le plus lourd, j’ai séparé
0<inf(X)<pi et
pi=<inf(X)<2pi
pour trouver inf(X) appartient à X et inf(X)/2pi appartient à Q donc pas à X
IV)
montrer que
inf(X) = 0 => X dense dans [0,2pi[
si cela vous intéresse, je vous
amène la démonstration Mardi
A+
Fred
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