Mathieu,

Je ne sais pas si tu as eu d’autres idées avec V. Lizan pour la résolution de ce pb. Je crois qu’il faut partir du fait que :

1)       X est un ss groupe de R, + (0 et -x existent dans X, stable par l’addition car x+y est de la forme n alpha + 2 k pi donc appartient à X)

2)       Donc X est soit aZ soit dense dans R réduit à [0,2pi[

3)       Si X est aZ alors alpha / 2 pi appartient à Q donc impossible (c’est sur les notes que je t’ai passé au III

Reste à formuler cela de manière rigoureuse, ce qui n’est pas le plus facile.

A+

Fred

-----Message d'origine-----
De : frederic lavarenne [mailto:frederic.lavarenne@club-internet.fr]
Envoyé : lundi 13 octobre 2014 00:06
À : 'l3-mme-grp5@listes.33cl.fr'
Objet : RE : exo 6 td2 analyse eureka!

Correction

-----Message d'origine-----
De : frederic lavarenne [mailto:frederic.lavarenne@club-internet.fr]
Envoyé : dimanche 12 octobre 2014 23:54
À : 'l3-mme-grp5@listes.33cl.fr'
Objet : exo 6 td2 analyse eureka!

J’ai trouvé un moyen de démontrer l’exo 6 du TD2 d’analyse. Seulement, c’est tellement long que je doute que cela soit la meilleure démonstration.

Je suis parti de la démonstration que les sous groupes de R+ sont soit aZ soit denses dans R (cours du 25/9). J’ai appliqué à X et [0,2pi[.

I)                     montrer que X est stable par + et x par un scalaire

II)                   montrer que inf (X) existe (non vide et minoré)

III)                  montrer que inf(X) > 0 impossible : c’est le plus lourd, j’ai séparé 0<inf(X)<pi et pi=<inf(X)<2pi pour trouver inf(X) appartient à X et inf(X)/2pi appartient à Q donc pas à X

IV)                montrer que inf(X) = 0 => X dense dans [0,2pi[

si cela vous intéresse, je vous amène la démonstration Mardi

A+

Fred