Réponses ci-dessous sur ton texte

-----Message d'origine-----
De : l3-mme-grp5-bounces@listes.33cl.fr [mailto:l3-mme-grp5-bounces@listes.33cl.fr] De la part de Pierre CASTELLA
Envoyé : dimanche 7 décembre 2014 10:51
À : l3-mme-grp5@listes.33cl.fr
Objet : Re: [l3-mme-grp5] RE : RE : coucou,

Pour l’exo, j’ai trouvé cela (à vérifier si c’est juste) :

P(X²<t) = P(X<sqrt(t))

ce qui donne avec la densité de la loi normale centrée P(X²<t) = 1/sqrt(2pi) x int(exp(-sqrt(t²)/2)dt) de –inf à +inf

remplacer la densité dans la définition de la transformée de laplace, soit MX² = 1/sqrt(2pi) x int(exp(tx-abs(x/2))dt) de –inf à +inf.

si tu integre de –inf à 0 + de 0 à +inf pour gérer la valeur absolue, tu trouves la différence de deux TL de gamma : Mgamma(1,-1/2) – Mgamma(1,1/2)

Là je suis bloqué comme au 1b, il doit me manquer un outil pour revenir sur une fraction de la forme (b/(b-t))^a.

 

Dis moi si tu trouves mieux.

 

A+

Fred

Salut Fred,

J’ai une autre proposition suite à tes remarques :

P(X2 < t) représente la fonction de répartition de ta variable, et dans la transformé de Laplace on utilise la densité.
Il ne te faudrait pas dérivé ta fonction de répartition pour revenir à une densité que tu peux utiliser pour calculer ta transformée ?
Je crois qu’il faut juste remplacer les variables.

P(X²<t) = P(-sqrt(t)<X<sqrt(t)) = 1/sqrt(2pi) x int(exp(-sqrt(x²)/2)dx) sur [-sqrt(t) ;sqrt(t)] comme paire, on integre sur [0 ; sqrt(t)] et on x2

ensuite il faut poser u = sqrt(x) dans l’intégrale, alors P(X²) = 2/sqrt(2pi) x int(u x exp(-u/2)du sur [0 ;t] cela donne la densité de X²

ensuite on utilise la définition de la TL avec la densité : MX²=2/sqrt(2pi) x int(exp(ut)x uexp(-u/2)du) sur [0 ; +inf]

integration par partie MX² /sqrt(2/pi) = [u/(t-1/2)  x exp(u(t-1/2))]en 0 et +inf – int(1/(t-1/2 )exp(u(t-1/2))du) = 0 + 1/(t-1/2)²

cela donne une TL de fonction Gamma au coeff près dont je ne sais pas me débarasser.

C’est déjà mieux non ?

 P(X²<t)=P(X<sqrt(t))=int(f(x)dx) sur ]-inf;sqrt(t)] or P(X<sqrt(t))=Fx(t) et on ne sait pas calculer la fonction de répartition de X qui suit une loi normale car on sait pas trouver une primitive de sa densité..... --' voilà mon gros soucis ! et le votre :P

J'ai pensé essayer de trouver la densité de X² mais je ne vois pas comment!

Pour moi, comme on parle de X2, le support de cette loi est 0, +infini. (modification du domaine de définition et d'intégration)

Par contre, après je ne sais pas trop comment l'interpréter, la probabilité que X2 = h, c'est la proba que x = sqrt(h) + proba que x = -sqrt(h).
Et comme la fonction de densité de la loi normale est paire, on obtient soit p(x2=h) = 2 x p(x = sqrt(h)) ou bien on se retrouve avec une loi normale que l'on reprend entre -infini et +infini ...

J'ai fais plusieurs essais mais rien ne me ramène de près ou de loin à une loi Gamma.

Donc j'avoue, je suis pommé :(

A+

Pierre